Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底，，為常數(shù)且）

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，恒有．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，再由和分類討論，能求出結(jié)果．

（2）當(dāng)時(shí)，求得，推導(dǎo)出，再由和進(jìn)行分類討論經(jīng)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）由題知時(shí)，，， ，

①當(dāng)時(shí)，得函數(shù)在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

Ⅰ.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

Ⅱ.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（2）時(shí)，，

則，

由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，即，

∴．

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，即在上單調(diào)遞增，

∴（合題意）．

②當(dāng)時(shí)，

由，得，且在上單調(diào)遞增，

又，，，，

故在上存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

即在上遞減，此時(shí)，知在上遞減，

此時(shí)與已知矛盾（不合題意），

綜上：滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是．