Question

15．已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，則由f（0）=2得，c=2；化簡(jiǎn)f（x+1）-f（x）=2x-1對(duì)任意x∈R都成立可得2ax+a+b=2x+1對(duì)任意x恒成立，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$=x²-$\sqrt{{x}^{2}+2}$，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
則由f（0）=2得，c=2；
由f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b=2x+1對(duì)任意x恒成立，
則2a=2，a+b=1；
則a=1，b=0；
則f（x）=x²+2．
（2）∵g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$=x²-$\sqrt{{x}^{2}+2}$，
令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，t≥$\sqrt{2}$，
則x²=t²-2，
則y=g（x）=t²-t-2，t≥$\sqrt{2}$，
由y=t²-t-2的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)取最小值$\sqrt{2}$，無(wú)最大值，
即函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．