Question

1．求下列函數的值域：
（1）-x²-4x+3；
（2）y=$\frac{1}{2+x+{x}^{2}}$；
（3）y=x-$\sqrt{x+2}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求二次函數的值域；
（2）利用配方法求出x²+x+2的范圍，取倒數得答案；
（3）令$\sqrt{x+2}=t$（t≥0）換元，然后轉化為二次函數求值域．

解答 解：（1）∵y=-x²-4x+3=-（x+2）²+7≤7，
∴函數y=-x²-4x+3的值域為（-∞，7]；
（2）∵${x}^{2}+x+2=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}≥\frac{7}{4}$，
∴y=$\frac{1}{2+x+{x}^{2}}$∈（0，$\frac{4}{7}$]；
（3）令$\sqrt{x+2}=t$（t≥0），∴x=t²-2，
∴y=x-$\sqrt{x+2}$化為g（t）=t²-t-2（t≥0），
其對稱軸方程為t=$\frac{1}{2}$，∴$g（t）_{min}=g（\frac{1}{2}）=-\frac{9}{4}$，
∴y=x-$\sqrt{x+2}$的值域為[$-\frac{9}{4}，+$∞）．

點評 本題考查函數的值域及其求法，訓練了配方法及換元法求函數的值域，是中檔題．