Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+x-6，若不等式f（x）≤m²-2m+3對(duì)于所有x∈[-2，2]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要使原式恒成立，只需m²-2m+3大于等于f（x）在[-2，2]上的最大值，然后再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值，最后求解不等式得答案．

解答 解：f（x）=x³+x-6，x∈[-2，2]，
f′（x）=3x²+1＞0，
∴函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，2]上為增函數(shù)，
而f（2）=2³+2-6=4，
∴函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值為4，
由f（x）≤m²-2m+3對(duì)于所有x∈[-2，2]恒成立，
得4≤m²-2m+3，即m²-2m-1≥0，
解得：m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．
故答案為：m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決，解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬中檔題．