Question

20．在公比為2的等比數(shù)列{a_n}中，a₂與a₄的等差中項是5$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|a₁|sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π，的一部分圖象如圖所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）為圖象上的兩點，設∠MPN=β，其中P與坐標原點O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用等比數(shù)列以及等差中項求出a₁；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）和函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，通過余弦定理求出β的值，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)求出結(jié)果即可．

解答 解：（Ⅰ）∵公比為2的等比數(shù)列{a_n}中，a₂與a₄的等差中項是5$\sqrt{3}$，
∴2a₁+8a₁=10$\sqrt{3}$，∴a₁=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）函數(shù)y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ），|φ|＜π的一部分圖象如圖所示，
M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，-$\sqrt{3}$）為圖象上的兩點，
∴$\frac{π}{4}$×（-1）+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{3π}{4}$．
∵點M、N在函數(shù)圖象上，如圖，連接MN，記∠MPN=β，
則在△MPN中，由余弦定理得
cosβ=$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}-|MN{|}^{2}}{2|PM||PN|}$=$\frac{4+12-28}{8\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵0＜β＜π，∴β=$\frac{5}{6}π$，
∴φ-β=$\frac{3π}{4}$-$\frac{5}{6}π$=-$\frac{π}{12}$，
∴tan（φ-β）=-tan$\frac{π}{12}$=-tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=-2+$\sqrt{3}$．

點評 本題是一道數(shù)列與三角函數(shù)的綜合題，涉及到等差中項的性質(zhì)、兩角和的正切公式、余弦定理等知識，屬于中檔題．