Question

已知函數(shù)f（x）=|x+1|+ax（a∈R）
（1）當a=1時，畫出此時的函數(shù)圖象并寫出解答過程；
（2）若函數(shù)f（x）在R上具有單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）化簡函數(shù)為y=

2x+1，x≥-1 -1，x＜-1

，利用一次函數(shù)與常函數(shù)畫出函數(shù)的圖象即可、
（2）先化簡f（x）=

(a+1)x+1，x≥-1 (a-1)x-1，x＜-1

，再分類討論：①a＞1時或a＜-1時，②a=1或-1時，③-1＜a＜1時，最后研究函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可．

解答： 解：（1）化簡函數(shù)為y=

2x+1，x≥-1 -1，x＜-1

，當x＜-1時是y=-1，平行于x軸的射線；當x≥-1時，是y=2x+1的射線，此時x=0、y=1，如圖：
（2）原函數(shù)式化簡得：f（x）=

(a+1)x+1，x≥-1 (a-1)x-1，x＜-1

．
①a＞1時，
當x≥-1時，f（x）=（a+1）x+1是增函數(shù)，且f（x）≥f（-1）=-a；
當x＜-1時，f（x）=（a-1）x-1是增函數(shù)，且f（x）＜f（-1）=-a．
所以，當a＞1時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
同理可知，當a＜-1時，函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．（6分）
②a=1或-1時，易知，不合題意．
③-1＜a＜1時，取x=0，得f（0）=1，取x=

2

a-1

，由

2

a-1

＜-1，知f（

2

a-1

）=1，
所以f（0）=f（

2

a-1

）．
所以函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性．（10分）
綜上可知，若函數(shù)f（x）在 R 上具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，h函數(shù)圖象的畫法，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．屬于中檔題．考查了分類討論的思想及判斷推理的能力