Question

已知函數(shù)．

(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)求證：．（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

【答案】

(1) 實(shí)數(shù)的取值范圍為;(2) 的取值范圍為;(3) 見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在處取得唯一的極值，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，故；（2）根據(jù)條件可得，然后令，求出的最小值，即可解得的范圍；（3）由（2）的結(jié)論可得，令，則有，分別令，則有

將這個(gè)不等式左右兩邊分別相加可得.

試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092823593851758436/SYS201309290001228331473101_DA.files/image024.png">，，

由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在上單增，在上單減，函數(shù)在處取得唯一的極值。

由題意得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為     4分

 (2) 當(dāng)時(shí)，不等式．       6分

令，由題意，在恒成立。

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。

所以在上單調(diào)遞增，

因此，則在上單調(diào)遞增，

所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為                  9分

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

即，              11分

令，則有．

分別令，則有，

將這個(gè)不等式左右兩邊分別相加，則得

故，從而．      14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；2.利用函數(shù)單調(diào)性解參數(shù)范圍；3.對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)；4.不等式證明.