Question

3．以下幾個命題中：其中真命題的序號為③④（寫出所有真命題的序號）
①設A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②平面內(nèi)，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線；＜
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}=1$有相同的焦點；
④若方程2x²-5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3．

Answer 1

分析 ①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確；
②說明點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，不滿足拋物線的定義；
③雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1大于0，即可判定；
④求出雙曲線的焦點與橢圓的焦點，即可判定．

解答 解：①平面內(nèi)與兩個定點F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點的軌跡叫做雙曲線，當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，∴①不正確；
②在平面內(nèi)，點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，
∴到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點的軌跡不是拋物線，∴②不正確；
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}=1$的焦點都是（±$\sqrt{34}$，0），有相同的焦點，正確；
④正確方程2x²-5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-5+a＜0}\end{array}\right.$，∴0＜a＜3，正確；
故答案為：③④．

點評 本題通過命題真假的判定考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質(zhì)和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目．