Question

【題目】已知?jiǎng)訄A與直線(xiàn)相切且與圓外切。

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)在軌跡上，若軸上兩點(diǎn)，，滿(mǎn)足且. 延長(zhǎng)、分別交軌跡于、兩點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）結(jié)合題意，可知圓心P的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，建立方程，即可。（2）設(shè)出直線(xiàn)SA的方程，代入拋物線(xiàn)方程，用k,m表示M,N的縱坐標(biāo)，結(jié)合，計(jì)算m，計(jì)算S坐標(biāo)，即可。

(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為

則圓心P到直線(xiàn)的距離，且，

故圓心到直線(xiàn)的距離為，

由拋物線(xiàn)的定義知，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，

故軌跡的方程為.

（另法：設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心為，

則，，化簡(jiǎn)得）

（2）

設(shè)，由，得，

的斜率和的斜率均存在，且互為相反數(shù)

設(shè)的斜率為，則直線(xiàn)，

聯(lián)立得，

故，，

即（*），

由于的斜率為，將（*）中的換成，

得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

故直線(xiàn)的斜率，

故，此時(shí)，時(shí)，，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為