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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】已知矩形，，，將沿對角線進行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，有下列結(jié)論正確的有_____.

①三棱錐的體積的最大值為；

②三棱錐的外接球體積不變；

③三棱錐的體積最大值時，二面角的大小是60°；

④異面直線與所成角的最大值為90°.

【答案】②④

【解析】

直接利用翻折問題的應(yīng)用和面面垂直的應(yīng)用和體積公式的應(yīng)用和異面直線的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：矩形，，將沿對角線進行翻折，得到三棱錐，則在翻折的過程中，

①，當平面平面時，三棱錐的高最大，此時三棱錐的體積，

所以三棱錐的體積的最大值為，故錯誤；

②設(shè)的中點為O，則由，知：，

所以O為三棱錐外接球的球心，其半徑為，

所以外接球的體積為，三棱錐的外接球體積不變，故正確.

③三棱錐的體積最大值時，當平面平面時，二面角的大小是90°，故錯誤.

④當沿對角線進行翻折到使點D與點B的距離為，即時，在中，，所以，又，

翻折后的垂直關(guān)系沒有變，所以平面，即異面直線與所成角的最大值為90°，故正確.

故答案為：②④.

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