Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）令求導(dǎo)，令，求出的值，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間，極小值，求出最小值；

（2）求，求出單調(diào)區(qū)間和極值，得出，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為求直線與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)的方法，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值和圖像變化趨勢，即可求解.

解：（1）令

，

令，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，

所以；

（2），令，

的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

所以的極小值為，也是最小值，.

所以，

因?yàn)?/span>，

令，

令，

的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

所以的極小值為，也是最小值，

所以，

所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，

又因?yàn)?/span>，且，

所以，當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).