Question

【題目】如圖， 中， ， 分別是的中點(diǎn)，將沿折起成，使面面， 分別是和的中點(diǎn)，平面與， 分別交于點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得平面，最后根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得結(jié)論（2）根據(jù)以及建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，由向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系求結(jié)果

試題解析：(1)證明：∵分別是的中點(diǎn)，∴，而平面， 平面，

∴平面

又平面平面，故.

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得：

， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，解得，

∴

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，得，

設(shè)二面角的平面角為，

則，∴.

∴二面角的正弦值為.