Question

16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA+acos（B+C）=0，若$c=2，sinC=\frac{3}{5}$，則a+b等于（　�。�

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $2\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內角和定理和正弦定理，利用三角函數(shù)的恒等變換，求得A、B、C的關系，再利用正弦定理計算a+b的值．

解答 解：△ABC中，bsinA+acos（B+C）=0，
∴bsinA-acosA=0，
由正弦定理得sinBsinA-sinAcosA=0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB-cosA=0，即cosA=sinB；
∴cosA=sin（$\frac{π}{2}$+A）=sinB，
∴$\frac{π}{2}$+A+B=π，即C=A+B=$\frac{π}{2}$；
或B=$\frac{π}{2}$+A，即B-A=$\frac{π}{2}$；
又∵sinC=$\frac{3}{5}$，∴B-A=$\frac{π}{2}$，
∴cosC=sin（$\frac{π}{2}$-C）=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，
∴1+2sinAcosA=（sinA+cosA）²=$\frac{9}{5}$，
解得sinA+cosA=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
∴a+b=$\frac{c}{sinC}$（sinA+sinB）=$\frac{10}{3}$（sinA+cosA）=$\frac{10}{3}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角恒等變換以及正弦定理與三角形內角和定理的應用問題，是綜合題．