Question

5．甲、乙、丙三人玩抽紅包游戲，現(xiàn)將裝有5元、3元、2元的紅包各3個，放入一不透明的暗箱中并攪拌均勻，供3人隨機抽�。�
（Ⅰ）若甲隨機從中抽取3個紅包，求甲抽到的3個紅包中裝有的金額總數(shù)小于10元的概率．
（Ⅱ）若甲、乙、丙按下列規(guī)則抽取：
①每人每次只抽取一個紅包，抽取后不放回；
②甲第一個抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次輪流；
③一旦有人抽到裝有5元的紅包，游戲立即結(jié)束．
求甲抽到的紅包的個數(shù)X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設事件A為“甲抽到的3個紅包中裝有的金額總數(shù)小于10元”，利用互斥事件概率加法公式能求出甲抽到的3個紅包中裝有的金額總數(shù)小于10元的概率．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）設事件A為“甲抽到的3個紅包中裝有的金額總數(shù)小于10元”，
則甲抽到的3個紅包中裝有的金額總數(shù)小于10元的概率：
P（A）=$\frac{{C}_{6}^{3}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{13}{42}$．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{1}}+\frac{{A}_{6}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{2}}+\frac{{A}_{6}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{9}^{3}}$=$\frac{16}{21}$，
P（X=2）=$\frac{{A}_{6}^{3}}{{A}_{9}^{3}}$（$\frac{{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{1}}+\frac{{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{2}}+\frac{{A}_{3}^{2}{A}_{3}^{1}}{{A}_{6}^{3}}$）=$\frac{19}{84}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{6}^{6}}{{A}_{9}^{6}}=\frac{1}{84}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{16}{21}$	$\frac{19}{84}$	$\frac{1}{84}$

EX=$1×\frac{16}{21}+2×\frac{19}{84}+3×\frac{1}{84}$=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．