【題目】已知函數(shù)
，其中
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若
，求
的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)
時，記的最小值為
，求證：
.
【答案】(1) 函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
，單調(diào)遞增區(qū)間為
．(2) 見解析.
【解析】
（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，代入?yún)?shù)a的值，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）通過對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到
，
，由
得：
，構(gòu)造函數(shù)
，對函數(shù)求導(dǎo)可得到函數(shù)的最值.
（Ⅰ）的定義域是
，
.
當(dāng)
時，
，
因為函數(shù)
，
單調(diào)遞增，且
，
所以：當(dāng)
時，
，
當(dāng)
時，
，
所以：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：
，單調(diào)遞增區(qū)間為：
；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得的定義域是，
，
令
，則
，
在上單調(diào)遞增，
因為
，
所以
，
，
故存在，使得
，
當(dāng)
時，
，故，單調(diào)遞減；
當(dāng)
時，
，故，單調(diào)遞增；
故
時，取得最小值，
即，
由得：
，
令
，，則
，
當(dāng)
時，
，
單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
，單調(diào)遞減，
故
，即
時，取最大值1，
故
.
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若四面體
的三組對棱分別相等，即
，給出下列結(jié)論：
①四面體每組對棱相互垂直；
②四面體每個面的面積相等；
③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大
而小于
；
④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分.
其中正確結(jié)論的序號是__________． (寫出所有正確結(jié)論的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列4個命題，其中正確命題的序號____________.
①
；
②函數(shù)
有
個零點；
③函數(shù)
的圖象關(guān)于點
對稱。
④已知
，函數(shù)
的圖象過點
，則
的最小值是
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線
向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的
，得到曲線
，以坐標(biāo)原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為
．
（1）求曲線的參數(shù)方程；
（2）已知點
在第一象限，四邊形
是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標(biāo)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】通過隨機詢問某地100名高中學(xué)生在選擇座位時是否挑同桌，得到如下
列聯(lián)表：
男生 | 女生 | 合計 | |
挑同桌 | 30 | 40 | 70 |
不挑同桌 | 20 | 10 | 30 |
總計 | 50 | 50 | 100 |
Ⅰ
從這50名男生中按是否挑同桌采取分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，現(xiàn)從這5人中隨機選取3人做深度采訪，求這3名學(xué)生中至少有2名要挑同桌的概率；
Ⅱ
根據(jù)以上
列聯(lián)表，是否有
以上的把握認為“性別與在選擇座位時是否挑同桌”有關(guān)？
下面的臨界值表供參考：
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參考公式： 
，其中
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱
中，
，點
分別為棱
的中點．
（Ⅰ）求證：
∥平面
(Ⅱ)求證：平面
平面;
(Ⅲ)在線段
上是否存在一點
，使得直線
與平面
所成的角為300?如果存在，求出線段
的長；如果不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點A（4，t）到其焦點F的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點F作直線l，使得拋物線C上恰有三個點到直線1的距離為2，求直線1的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0．當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為
時，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．
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