Question

【題目】已知函數(shù)，（其中,為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若分別是的極大值點和極小值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)證明見解析

【解析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.

（2）根據(jù)題意知等價于，設(shè)

，計算得到使，計算得到

得到證明.

（1）當(dāng)時，，

的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

時，，

①時，由解得或；由解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是

②時，由解得；由解得或，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；

綜上所述：

時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

時，單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

時，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；

（2）由已知和（1）得，當(dāng)時滿足題意，此時， ，

令，則.

令則恒成立，

在上單調(diào)遞增，

使，即

從而當(dāng)時， 單調(diào)遞減，當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減

，，

即，