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當x1≠x2時，有f（
x1+x2
2
）＜
f(x1)+f(x2) 
2
，則稱函數f（x）是“嚴格下凸函數”，下列函數是嚴格下凸函數的是（　　）
分析：先求出f（
x1+x2
2
）的解析式以及
f(x1)+f(x2)
2
的解析式，利用函數的單調性、基本不等式判斷f（
x1+x2
2
）和
f(x1)+f(x2)
2
的大小關系，再根據“嚴格下凸函數”的定義域，
得出結論．
解答：解：A、對于函數y=f（x）=x，當x1≠x2時，有f（
x1+x2
2
）=
x1+x2
2
，
f(x1)+f(x2)
2
=
x1+x2
2
，
f（
x1+x2
2
）=
f(x1)+f(x2)
2
，故不是嚴格下凸函數．
B、對于函數y=f（x）=|x|，當x1≠x2 ＞0時，f（
x1+x2
2
）=|
x1+x2
2
|=
x1+x2
2
，
f(x1)+f(x2)
2
=
|x1|+|x2|
2
=
x1+x2
2
，
f（
x1+x2
2
）=
f(x1)+f(x2)
2
，故不是嚴格下凸函數．
C、對于函數 y=f（x）=x2，當x1≠x2時，有f（
x1+x2
2
）=(
x1+x2
2
)2=
x12+2x1x2+x22
4
，
f(x1)+f(x2)
2
=
x12 +x22
2
，顯然滿足f（
x1+x2
2
）＜
f(x1)+f(x2) 
2
，故是嚴格下凸函數．
D、對于函數y=f（x）=log2x，f（
x1+x2
2
）=log2
x1+x2
2
，
f(x1)+f(x2)
2
=
1
2
(log2x1+log2x2)=log2
x1•x2
，
f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
，故不是嚴格下凸函數．
故選C．
點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，基本不等式的應用，“嚴格下凸函數”的定義，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中正確的命題是（　�。�
A、若存在x1，x2∈[a，b]，當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2），則說函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數
B、若存在xi∈[a，b]（1≤i≤n，n≥2，i、n∈N*），當x1＜x2＜x3＜…＜xn時，有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（xn），則說函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數
C、函數y=f（x）的定義域為[0，+∞），若對任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），則函數y=f（x）在[0，+∞）上一定是減函數
D、若對任意x1，x2∈[a，b]，當x1≠x2時，有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，則說函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為正實數集，且滿足條件f（4）=1，對任意x1，x2屬于正實數，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）且當x1≠x2時，有
f(x2)-f(x1)x2-x1
＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知冪函數f（x）滿足：對任意x1，x2∈R，當且僅當x1=x2時，有f（x1）=f（x2）．則f（-1）+f（0）+f（1）的值為
0
0
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

當x1≠x2時，有f（
x1+x2
2
）＜
f(x1)+f(x2) 
2
，則稱函數f（x）是“嚴格下凸函數”，下列函數是嚴格下凸函數的是（　�。�
A．y=xB．y=|x|C．y=x2D．y=log2x

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