Question

【題目】已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，母線長為，，、是底面半徑，且：，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，如圖所示：

（1）求圓錐的表面積；

（2）求異面直線和所成的角的大小，并求、兩點(diǎn)在圓錐側(cè)面上的最短距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）、夾角為，最短距離為

【解析】

（1）由求得底面圓半徑，根據(jù)圓錐表面積公式可求得結(jié)果；

（2）作，根據(jù)異面直線所成角定義可知所成角為；根據(jù)向量數(shù)量積為零可知，進(jìn)而得到，根據(jù)線面垂直性質(zhì)知，得到線面垂直關(guān)系平面，由線面垂直性質(zhì)得，根據(jù)長度關(guān)系可求得，進(jìn)而求得異面直線所成角；求得圓錐側(cè)面展開圖圓心角后，根據(jù)弧長關(guān)系可求得，由余弦定理可求得結(jié)果.

（1）由題意得：底面圓半徑

圓錐表面積

（2）作，交于，連接

異面直線與所成角即為與所成角，即

，又

平面，平面

平面， 平面

又平面

為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)

，

即異面直線與所成角大小為

由得：，即圓錐側(cè)面展開圖扇形圓心角為

圓錐側(cè)面展開圖如下圖所示：

為中點(diǎn)

在中，由余弦定理可得：

，即兩點(diǎn)在圓錐側(cè)面上的最短距離為