Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，2$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+1，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$}是等差數(shù)列；
（2）求使lga₁+lga₂+…+lga_n＞4成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）由2$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+1，可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\frac{2\sqrt{{a}_{n}}-1}{\sqrt{{a}_{n}}}$，$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}-1}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$，即可證明．
（2）由（1）可得$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$=1+（n-1）=n，化為a_n=$（\frac{n+1}{n}）^{2}$，可得lga_n=2[lg（n+1）-lgn]，利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵2$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\frac{2\sqrt{{a}_{n}}-1}{\sqrt{{a}_{n}}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}-1}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{{a}_{n}}-1}{\sqrt{{a}_{n}}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-1+1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$=1+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}-1}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}-1}$=1+（n-1）=n，
解得a_n=$（\frac{n+1}{n}）^{2}$，
∴l(xiāng)ga_n=2[lg（n+1）-lgn]，
∴l(xiāng)ga₁+lga₂+…+lga_n=2[lg（n+1）-lgn]+2[lgn-lg（n-1）]+…+2[lg2-lg1]=2lg（n+1）．
∴l(xiāng)ga₁+lga₂+…+lga_n＞4，即2lg（n+1）＞4，化為lg（n+1）＞2．
∴n+1＞10²，
解得n＞99．
∴使lga₁+lga₂+…+lga_n＞4成立的最小正整數(shù)n=100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．