Question

16．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為BB₁的中點，F(xiàn)為AD的中點，以DA，DC，DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)平面D₁EF的法向量為（ak，bk，ck）（k≠0），則平面D₁EF的法向量是（4k，-3k，2k）（k≠0）．

Answer 1

分析 求出各個點的坐標，進而求出向量$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{{D}_{1}F}$的坐標，結(jié)合$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ak+bk-\frac{1}{2}ck=0\\ \frac{1}{2}ak-ck=0\end{array}\right.$，可得答案．

解答 解：如下圖所示：

∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為BB₁的中點，F(xiàn)為AD的中點，
∴D₁（0，0，1），E（1，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0，0），
則$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}$，0，-1），
設(shè)平面D₁EF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（ak，bk，ck）（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ak+bk-\frac{1}{2}ck=0\\ \frac{1}{2}ak-ck=0\end{array}\right.$，
令c=2，則a=4，b=-3，
故平面D₁EF的法向量是（4k，-3k，2k），
故答案為：（4k，-3k，2k）（k≠0）

點評 本題考查的知識點是平面的法向量，熟練掌握平面法向量的求法，是解答的關(guān)鍵．