Question

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的N，都有為常數(shù)，且．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比與函數(shù)關(guān)系為，數(shù)列滿足，點(diǎn)落在 上，，N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和，使恒成立時(shí)，求的最小值．[

 

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題分析； （2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（3），的最小值為-6．

【解析】

試題分析：（1）按照等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）知與函數(shù)關(guān)系為，∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式可求；

（3）先用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即，化簡(jiǎn)得恒成立，由單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，右邊最大，所以，的最小值為-6．

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得． 1分

當(dāng)時(shí)，． 2分

即．

∵為常數(shù)，且，∴． 3分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 4分

（2）【解析】
由（1）得，，． 5分

∵

∴，即．

∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列． 7分

∴，即（）． 8分

（3）【解析】
由（2）知，則． 9分

所以，

即， ①

， ②

②－①得，

故．

，化簡(jiǎn)得恒成立，由單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，右邊最大，所以，的最小值為-6． 14分

考點(diǎn)：數(shù)列綜合應(yīng)用、函數(shù)與方程思想、恒成立問(wèn)題．