Question

拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x₀,y₀)(x ₀≠0)作斜率為k₁,k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.

（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；

（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；

（Ⅲ）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）由拋物線的方程（）得，焦點坐標為，準線方程為．

（Ⅱ）證明：設直線的方程為，直線的方程為．

點和點的坐標是方程組的解．將②式代入①式得，于是，故�、�

又點和點的坐標是方程組的解．將⑤式代入④式得．于是，故．

由已知得，，則．　�、�

設點的坐標為，由，則．

將③式和⑥式代入上式得，即．

∴線段的中點在軸上．

（Ⅲ）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為．

由③式知，代入得．

將代入⑥式得，代入得．

因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標為

，．

于是，，

．

因為鈍角且、、三點互不相同，故必有．

求得的取值范圍是或．又點的縱坐標滿足，故當時，；當時，．即

解析:

將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉化為一元二次方程，用韋達定理來求解. 點評：解析幾何解題思維方法比較簡單，但對運算能力的要求比較高，平時練習要注意提高自己的運算能力.