Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a₅²=a₁₀，求數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，∴$2{a}_{n}（1+{q}^{2}）$=5a_nq，
化為2（1+q²）=5q，又q＞1，
解得q=2．
（II）a₅²=a₁₀，$（{a}_{1}×{2}^{4}）^{2}$=a₁×2⁹，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n項和S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$2[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．