Question

16．已知f（x）=Asin（x+$\frac{π}{4}$）（A≠0）．
（1）若A=1，將f（x）的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，得到g（x）的圖象，求g（x）的解析式及對稱軸方程．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=cos2α，sin2α=-$\frac{7}{9}$，求A的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得g（x）的圖象的對車軸方程．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得Asin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，再利用兩角和的正弦公式展開、平方，化簡求得A的值．

解答 解：（1）∵A=1，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$），將f（x）的圖象上各點的縱坐標不變，
橫坐標縮短為原來的2倍，可得y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，
得到g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$）的圖象．
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得g（x）的圖象對稱軸方程為 x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
（2）若α∈[0，π]，f（α）=Asin（α+$\frac{π}{4}$）=cos2α，sin2α=-$\frac{7}{9}$，
再根據(jù)cos²2α+sin²2α=A²sin²（α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{49}{81}$=1，求得Asin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即$\frac{A}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{4}{9}$，平方可得A² （1+sin2α）=$\frac{16}{81}$，∴A²=$\frac{8}{9}$，∴A=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，同角三角函數(shù)的基本關系，屬于中檔題．