Question

6．已知⊙O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若C（3，-1），求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得|PQ|+|PC|最小．

Answer 1

分析 （1）連接OQ，由勾股定理得到PQ²=OP²-OQ²．從而PQ²=PA²，由此能求出得實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系．
（2）由已知得PQ=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-1}$，再由實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{2}-1}$，能求出線段PQ取得最小值．
（3）求出點(diǎn)A（2，1）關(guān)于點(diǎn)P所在直線2x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P為直線CD與直線2x+y-3=0的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）連接OQ，∵切點(diǎn)為Q，PQ⊥OQ，
由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
化簡(jiǎn)，得實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0．
（2）∵2a+b-3=0，∴b=-2a+3，
∴PQ=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-1}$
=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a+3）^{2}-1}$
=$\sqrt{5{a}^{2}-12a+8}$
=$\sqrt{5（a-\frac{6}{5}）^{2}+\frac{4}{5}}$，
故當(dāng)a=$\frac{6}{5}$時(shí)，線段PQ取得最小值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）設(shè)點(diǎn)A（2，1）關(guān)于點(diǎn)P所在直線2x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為D（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{2+m}{2}+\frac{1+b}{2}-3=0}\\{\frac{n-1}{m-2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴點(diǎn)A（2，1）關(guān)于點(diǎn)P所在直線2x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為D（$\frac{2}{5}，\frac{1}{5}$），
∴|PQ|+|PC|=|PA|+|PC|=|PD|+|PC|≥CD，
當(dāng)點(diǎn)P為直線CD與直線2x+y-3=0的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，
∵C（3，-1），D（$\frac{2}{5}，\frac{1}{5}$），∴直線CD所在方程為：$\frac{y+1}{x-3}=\frac{\frac{1}{5}+1}{\frac{2}{5}-3}$，即6x+13y-5=0，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{6x+13y-5=0}\\{2x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{10}}\\{y=-\frac{2}{5}}\end{array}\right.$．即P（$\frac{17}{10}，-\frac{2}{5}$）．
∴點(diǎn)P（$\frac{17}{10}$，-$\frac{2}{5}$）使得|PQ|+|PC|最小．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系、線段PQ長(zhǎng)的最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得|PQ|+|PC|最小，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、對(duì)稱點(diǎn)、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．