Question

14．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的半焦距為c，直線(xiàn)l過(guò)（c，0），（0，b）兩點(diǎn)，若直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}+1$
• D． $\sqrt{5}-1$

Answer 1

分析 由題意便知，直線(xiàn)l與漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x垂直，而直線(xiàn)l的斜率可以求出，這樣根據(jù)相互垂直的直線(xiàn)斜率的關(guān)系即可得到-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1，通過(guò)該式解出即可．

解答 解：根據(jù)題意知，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x垂直；
直線(xiàn)l的斜率為-$\frac{c}$；
∴$\frac{a}•（-\frac{c}）$=-$\frac{^{2}}{ac}$=-$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}$=-1；
∴e²-e-1=0；
∵e＞1，∴e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的概念及求法，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)的坐標(biāo)求直線(xiàn)斜率的公式，以及相互垂直的直線(xiàn)的斜率的關(guān)系，雙曲線(xiàn)離心率的概念及計(jì)算公式，解一元二次方程．