Question

（本題滿分13分）

一個(gè)截面為拋物線形的舊河道(如圖1)，河口寬米，河深2米，現(xiàn)要將其截面改造為等腰梯形(如圖2)，要求河道深度不變，而且施工時(shí)只能挖土，不準(zhǔn)向河道填土．

(Ⅰ)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線弧的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)試求當(dāng)截面梯形的下底（較長的底邊）長為多少米時(shí)，才能使挖出的土最少？

 

Answer 1

解：（1）如圖：以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，

中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系------1分

則            ------2分

設(shè)拋物線的方程為，將點(diǎn)代入得       -------3分

所以拋物線弧AB方程為（）       ------4分

（2）解法一：

設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于      

則過的切線的斜率為                 

所以切線的方程為：，即             

令，得，   令，得，

所以梯形面積          -----10分

當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，成立                            

此時(shí)下底邊長為                         -----12分

答：當(dāng)梯形的下底邊長等于米時(shí)，挖出的土最少．       -----13分

 解法二：設(shè)等腰梯形的腰與拋物線相切于                                      

則過的切線的斜率為                         

所以切線的方程為：，即        

運(yùn)用定積分計(jì)算拋物線與等腰梯形間的面積：

 -----10分

   

  

當(dāng)僅當(dāng)，即時(shí)，成立，此時(shí)下底邊長為    ---12分

答：當(dāng)梯形的下底邊長等于米時(shí)，挖出的土最少．       -----------13分

 解法三：設(shè)等腰梯形上底（較短的邊）長為米，則一腰過點(diǎn)，可設(shè)此腰所在直線方程為，    聯(lián)立，得，                

令，得，或（舍），        

故此腰所在直線方程為，                      

令，得，                                     

故等腰梯形的面積： ------------10分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有               

此時(shí)，下底邊長                 ------------12分

答：當(dāng)梯形的下底邊長等于米時(shí)，挖出的土最少．             ----------13分