Question

【題目】（本題滿分16分）已知，，都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．

（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若（是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若（為常數(shù)，）， ，求證：對(duì)任意的，數(shù)列單調(diào)遞減．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析；

【解析】

試題（1）由已知條件可化得數(shù)列的前和，再作差求得通項(xiàng)，要注意分類討論；（2）與（1）的思路相同，利用和作差，得到項(xiàng)之間的關(guān)系式，進(jìn)而表示出數(shù)列的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明，還應(yīng)注意補(bǔ)充說(shuō)明；（3）由（2）中和作差后的通項(xiàng)間的關(guān)系式可推得與的關(guān)系式，則證得從第2項(xiàng)起成等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，同時(shí)也求得數(shù)列從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列，所以從第2項(xiàng)起為差比數(shù)列，通過(guò)作差或作商可以研究它的單調(diào)性；

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列，所以，，

則由及得，

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，

當(dāng)時(shí)，，也滿足，故．

（2）因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，

即，，即，

又，所以，

即，

所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得 ，

所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是公差為等差數(shù)列；

又當(dāng)時(shí)，由得，

當(dāng)時(shí)，由得，

故數(shù)列是公差為等差數(shù)列．

（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，，即，

因?yàn)?/span>，所以，即，所以，即，

所以，

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，

即，故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，，

，

另外由已知條件得，又，，，

所以，因而，令 ，則 ，

因?yàn)?/span>，所以，所以對(duì)任意的，數(shù)列單調(diào)遞減．