Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx（x∈R）的最大值為a₁，且滿足a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，則數(shù)列{a_n}的前2017項之積A₂₀₁₇=2．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2$sin（x+\frac{π}{3}）$≤2，可得a₁=2．由a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，可得a_n=1+a_na_n+1，n≥2時，a_n-1a_na_n+1=a_n-1a_n-a_n-1=-1．即可得出數(shù)列{a_n}的前2017項之積A₂₀₁₇=A_672×3+1．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2$sin（x+\frac{π}{3}）$≤2，∴a₁=2．
∵a_n-a_nS_n+1=$\frac{{a}_{1}}{2}$-a_nS_n，∴a_n=1+a_n（S_n+1-S_n），∴a_n=1+a_na_n+1，
∴a_na_n+1=a_n-1，
∴n≥2時，a_n-1a_na_n+1=a_n-1a_n-a_n-1=-1．
∴數(shù)列{a_n}的前2017項之積A₂₀₁₇=A_672×3+1=a₁×（-1）⁶⁷²=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、三角函數(shù)求值、法則求積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．