Question

有一種變壓器鐵芯的截面呈如圖所示的正十字形，為保證所需的磁通量，要求正十字形的面積為4

5

cm²，為了使用來繞鐵芯的銅線最省，即正十字形外接圓周長最短，應如何設計 正十字形的長（如DG），和寬（如AB）？

Answer 1

分析：設外接圓半徑為R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，則4R²=x²+y²，由已知條件有2xy-x²=4

5

，所以y=

x2+4 5

2x

．從而得到4R²=x²+

x4+8 5 x2+80

4x2

=

5

4

x2+

20

x2

+2

5

≥2

5 4 x2• 20 x2

+2

5

=10+2

5

．由此能夠求出正十字形外接圓周長最短，應如何設計正十字形的長和寬．

解答：解：設外接圓半徑為R，AB=x（0＜x＜R），DG=y，
則4R²=x²+y²，①
由已知條件有2xy-x²=4

5

，
∴y=

x2+4 5

2x

②．
②代入①得4R²=x²+

x4+8 5 x2+80

4x2

．
∴4R²=

5

4

x2+

20

x2

+2

5

≥2

5 4 x2• 20 x2

+2

5

=10+2

5

．
當且僅當

5

4

x2=

20

x2

，
即x=2時，等號成立．
把代x=2入②得y=1+

5

，
∴當 x=2 且y=1+

5

時，
4R²有最小值，
此時正十字形外接圓周長最短．
答：正十字形的長和寬分別為（1+

5

）cm和2cm時，用來繞鐵芯的銅線最省．

點評：本題考查函數問題在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易出錯點．解題時要認真審題，注意均值定理的靈活運用．