Question

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）16.

【解析】

(I)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

(II)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.

(Ⅰ) 由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，

所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，

因?yàn)橹本�的直角坐標(biāo)方程為：，

又因曲線的左焦點(diǎn)為，將其代入中，得到，

所以的極坐標(biāo)方程為 .

（Ⅱ）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，，，，

所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為：，

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16 .