Question

函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+x+1在（1，2）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（　�。�

• A．（-∞，1]
• B．(-∞，

  5

  4

  ]
• C．[

  5

  4

  ，+∞)
• D．[1，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得f′（x）=x²-2ax+1≤0在（1，2）上恒成立，即 a≥

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上恒成立．利用單調(diào)性求出

1

2

（x+

1

x

）最大值為

1

2

（2+

1

2

）=

5

4

，從而得到a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+x+1在（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=x²-2ax+1≤0在（1，2）上恒成立．
即 a≥

x2+1

2x

=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上恒成立．
由于函數(shù)y=

1

2

（x+

1

x

）在（1，2）上單調(diào)遞增，故

1

2

（x+

1

x

）最大值為

1

2

（2+

1

2

）=

5

4

，故a≥

5

4

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．