Question

9．復數(shù)z使|z|=1成立，求|z+1-2i|的最大值和最小值及相應的z．

Answer 1

分析 滿足|z|=1的復數(shù)z，在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，|z+1-2i|表示復數(shù)z在復平面內對應點Z到點A（-1，2）的距離，即可求解|z+1-2i|的最值．通過直線與圓的方程求解z即可．

解答 解：滿足|z|=1的復數(shù)z，在以原點為圓心，以1為半徑的圓上． 而|z+1-2i|表示復數(shù)z在復平面內對應點Z到點A（-1，2）
的距離，OA=$\sqrt{5}$，|z+1-2i|的最小值是 $\sqrt{5}-1$，
|z+1-2i|的最大值為$\sqrt{5}+1$．由OA的方程為：y=-2x，|z|=1表示x²+y²=1，聯(lián)立可得x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
|z+1-2i|的最小值是 $\sqrt{5}-1$時，z=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}i$．
|z+1-2i|的最大值為$\sqrt{5}+1$時，z=$\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{2\sqrt{5}}{5}i$．

點評 本題考查兩個復數(shù)差的模的幾何意義，復數(shù)的應用，是一道中檔題．