Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2-（\frac{1}{2}）^{x}，&x≤0\\ 2{x}^{2}+1，&x＞0\end{array}\right.$，g（x）=kx，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個不同的交點，當(dāng)直線g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切時，由斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點A的坐標(biāo)，求得切線斜率的值，數(shù)形結(jié)合合可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：如圖示：

由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個不同的交點，
當(dāng)直線g（x）=kx和y=2x²+1（x＞0）相切時，設(shè)切點A（x₀，2${{x}_{0}}^{2}$+1），
則切線的斜率k=$\frac{{{2x}_{0}}^{2}+1-0}{{x}_{0}-0}$=f′（x₀）=4x₀，解得 x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
此時，k=2$\sqrt{2}$，數(shù)形結(jié)合合可得函數(shù)f（x）的圖象和函數(shù)g（x）的圖象有3個不同的交點，
則實數(shù)k的取值范圍是（2$\sqrt{2}$，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．