Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值A，函數(shù)，其中…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）求m的值，并判斷A是的最大值還是最小值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，不等式成立．

Answer 1

【答案】（1）；是最小值；（2）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（3）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意，得到，求出，研究函數(shù)單調(diào)性，即可判斷出結(jié)果；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，令，對(duì)其求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（3）先由（1）得時(shí)，恒成立，令，則，進(jìn)而求和，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，，所以，

又在處取得極值，

則，即；所以，

由得；由得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因此在處取得最小值，即是最小值；

（2）由（1）得，

所以，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以恒成立，

因此在上單調(diào)遞增；又，

所以，當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即；

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

（3）由（1）知，，

所以，當(dāng)時(shí)，恒成立；

令，則，

因此

，

即，

因此.