Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面，且，

是等邊三角形， .

(1)證明： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 見(jiàn)解析. (2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)計(jì)算可得，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得， 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果

試題解析：(1)在中， ,所以,

又是等邊三角形，所以,所以,即,

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面 平面，所以平面，故.在中， .

所以.

又因?yàn)?/span> ,所以平面.

(2)解法一：如圖，取的中點(diǎn)，連接.則在等腰中， .又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面 平面，所以平面.過(guò)點(diǎn)作的平行線，則平面.

由(1)知,故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則在中， , .

又在中， ,

所以，故.

又因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

所以, , , ，即.

所以, , .

設(shè)平面的法向量為，則由，

得.

令，得.故為平面的一個(gè)法向量.

因?yàn)?/span>平面，故為平面

的一個(gè)法向量.

故

.

設(shè)二面角為，則由圖可知,

所以.

解法二：取的中點(diǎn)，連接，連接并延長(zhǎng)，交于，連接.則在等腰中， .

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面,

所以平面.

設(shè),則在中， .

又在中， ，

所以

，故.

中， ，所以，且.

故,又,且,

所以,故.

又因?yàn)?/span>平面，由三垂線定理可得,

所以為二面角的平面角.

在中， ,所以.

故.所以在中， ,

故

∴二面角的余弦值為.