Question

15．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$，若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a＜0或a≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{2}{x}$+2x≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；再利用基本不等式可得4≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；從而解得．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$，
∴f（x）+2x≥0可化為-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$+2x≥0，
即$\frac{2}{x}$+2x≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；
又∵$\frac{2}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{2}{x}•2x}$=4；
（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}{x}$=2x，即x=1時(shí)，等號(hào)成立）；
∴4≥$\frac{1}{a}$在（0，+∞）上恒成立；
即a＜0或a≥$\frac{1}{4}$；
故答案為：a＜0或a≥$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值的求法及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．