Question

5．（1）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a，b，c都為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=2，證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由條件把不等式的左邊化為 $\frac{1}{2}$[3+$\frac{a}+\frac{a}$+$\frac{c}+\frac{c}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$]，再利用基本不等式證得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|，由不等式f（x）＜2，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{1-x+\frac{1}{2}（3-x）＜2}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{x-1+\frac{1}{2}（3-x）＜2}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-1+\frac{1}{2}（x-3）＜2}\end{array}\right.$③．
解①求得 $\frac{1}{3}$＜x≤1，解②求得1＜x＜3，解③求得 x∈∅，
綜上可得，原不等式的解集為{x|＜x＜3}．
（2）∵a+b+c=2，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}$+$\frac{a+b+c}{c}$]=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{a}+\frac{c}{a}$+$\frac{a}+\frac{c}$+$\frac{a}{c}+\frac{c}$]
=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{a}+\frac{a}$+$\frac{c}+\frac{c}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$]≥$\frac{1}{2}$（3+2+2+2）=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)，故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≥$\frac{9}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，用基本不等式證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．