Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意及任意， ，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分類討論可得：

當(dāng)時(shí)， 在定義域上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可得，構(gòu)造函數(shù)，討論可得.

試題解析：（1），

當(dāng)，即時(shí)， ， 在上是減函數(shù)；

當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得；

當(dāng)，即時(shí)，令，得或；令，得；

綜上，當(dāng)時(shí)， 在定義域上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 在， 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， 有最大值，當(dāng)時(shí)， 有最小值，

對任意，恒有， .

構(gòu)造函數(shù)，則，

， .

函數(shù)在上單調(diào)增.

， .