Question

【題目】已知橢圓： ，圓： 的圓心在橢圓上，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，且交橢圓于兩點(diǎn)，直線交圓于， 兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般方法為待定系數(shù)法，只需列出兩個(gè)獨(dú)立條件，解方程組即可：一是圓心在橢圓上，即，二是根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得，解得， ，（2）設(shè)直線： ，直線的方程為，根據(jù)幾何條件得,所以△的面積等于,先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式得,即，最后根據(jù)分式函數(shù)值域求法得范圍

試題解析：（1）圓： 的圓心為，

代入橢圓方程可得，

由點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為，即有，

解得，即，

解得， ，

即有橢圓方程為．

（2）依題意知直線斜率必存在，當(dāng)斜率為0時(shí)，直線： ，

代入圓的方程可得，可得的坐標(biāo)為，又，

可得的面積為；

當(dāng)直線斜率不為0時(shí)設(shè)直線： ，代入圓的方程可得

，

可得中點(diǎn)，

，

此時(shí)直線的方程為，代入橢圓方程，可得：

，

設(shè)， ，可得， ，

則，

可得的面積為，

設(shè)（），可得，

可得，且，

綜上可得，△的面積的取值范圍是．