Question

16．已知點A為拋物線C：x²=4y上的動點（不含原點），過點A的切線交x軸于點B，設拋物線C的焦點為F，則∠ABF一定是直角．（填：鈍角、銳角、直角）

Answer 1

分析 求導數(shù)，利用點斜式方程求得過A的切線方程，解出B的坐標，求出$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BF}$的坐標，可得計算$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0即可得出結論．

解答 解：由x²=4y可得y=$\frac{1}{4}$x²，求導y′=$\frac{1}{2}$x，
設A（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），則
過A的切線方程為y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=0，可得x=$\frac{1}{2}$x₀，則B（$\frac{1}{2}$x₀，0），
∵F（0，1），
∴$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}$x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{1}{2}$x₀，1），
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴∠ABF=90°，
∠ABF一定是直角，
故答案為：直角．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．