Question

【題目】橢圓，橢圓上一點到左焦點的距離的取值范圍為.

（1）求橢圓的方程；

（2），，，分別與橢圓相切，且，，，如圖，，，，圍成的矩形的面積記為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的左、右頂點到橢圓的左焦點的距離分別為最小值和最大值列出方程組，求解即可；

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到一元二次方程，根據(jù)韋達定理結合矩形的面積公式得到面積的表達式，結合基本不等式求解面積的取值范圍.

（1）因為橢圓上一點到左焦點的距離的取值范圍是，

設橢圓的焦距為，所以解得

所以，故橢圓的方程為.

（2）當，軸或，軸時，；

當，，，斜率都存在時，設，，，，

其中，且，.

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得

∴.

由，得，∴，同理可得

∵，，

∴

.

∵，∴，

∴，當且僅當時，等號成立，

∴

∴，

綜上，