Question

【題目】已知函數(shù)在上的最大值為.

（1）求的解析式；

（2）討論的零點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）有且僅有個零點(diǎn)

【解析】

（1）由，求導(dǎo)得到，根據(jù)函數(shù)在上的最大值為，利用唯一的極值點(diǎn)為最值點(diǎn)求解.

（2）由（1）得到，求導(dǎo)，設(shè)，分，， ， 四種情況用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.

（1）由，得，

令，得；令，得，

∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.

故在處有極大值，也是的最大值，

所以，∴，

故.

（2）∵，

∴，

設(shè)，

（i）當(dāng)時，∴，所以單調(diào)遞減.

又，，從而在上存在唯一零點(diǎn).也即在上存在唯一零點(diǎn).

（ii）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

因為，，

所以存在，，且在上，在上，

所以為在上的最大值，

又因為，，

所以在上恒大于零，無零點(diǎn).

（iii）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.

，所以在上單調(diào)遞增.

又，，

所以在上存在唯一零點(diǎn).

（iiii）當(dāng)時，，

設(shè)，

∴，

所以在上單調(diào)遞減，所以，即.

∴在上單調(diào)遞減，

因為，所以在上單調(diào)遞增，

因為，，

所以在無零點(diǎn)，

綜上，有且僅有個零點(diǎn).