Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E為A₁B₁的中點，給出下列四個命題：
①點E到平面ABC₁D₁的距離為$\frac{1}{2}$；
②直線BC與平面ABC₁D₁所稱角為45°；
③空間四邊形ABCD₁在該正方體六個面內(nèi)射影面積的最小值為$\frac{1}{2}$；
④正方體的所有棱中，與AB，CC₁均共面的棱共有5條，
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)點E到平面ABC₁D₁的距離等于點₁到平面ABC₁D₁的距離，判斷①即可；
直線BC與平面ABC₁D₁所稱角為∠CB₁C₁，利用Rt△CB₁C₁求解即可；
把空間四邊形ABCD₁在該正方體左右，前后上下的射影面積求解判斷最小值即可，
利用平行，相交得出正方體的所有棱中，與AB，CC₁均共面的棱共有5條，其中有BB₁，D₁C₁，DC，AA₁，BC，

解答 解：∵EB₁∥平面ABC₁D₁，
∴點E到平面ABC₁D₁的距離等于點B₁到平面ABC₁D₁的距離，
∴點E到平面ABC₁D₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故①不正確；
∵直線BC與平面ABC₁D₁所稱角為∠CB₁C₁，
∴在Rt△CB₁C₁中，∠CB₁C₁=45°，
故②正確；

∵空間四邊形ABCD₁在該正方體上下面的射影面積為1，
空間四邊形ABCD₁在該正方體左右，前后的射影面積為$\frac{1}{2}$；
∴空間四邊形ABCD₁在該正方體六個面內(nèi)射影面積的最小值為$\frac{1}{2}$；
故③正確；
∵正方體的所有棱中，與AB，CC₁均共面的棱共有5條，其中有BB₁，D₁C₁，DC，AA₁，BC，
∴④正確，
故選：C

點評 本題綜合參考了正方體的幾何性質(zhì)，空間直線，平面的距離，夾角問題，化立體為平面求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是仔細看圖得出所求解的線段，夾角．