Question

【題目】已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面積為1.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線(xiàn)PA與Y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N。求證：lANl lBMl為定值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知， ，又 ，

解得

∴橢圓的方程為

（2）

解：方法一：

設(shè)橢圓上一點(diǎn) ，則 .

直線(xiàn) ： ,令 ，得 .

∴

直線(xiàn) ： ,令 ，得 .

∴

將 代入上式得

故 為定值.

方法二：

設(shè)橢圓 上一點(diǎn) ，

直線(xiàn)PA: ,令 ，得 .

∴

直線(xiàn) : ,令 ，得 .

∴

故 為定值

【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）方法一、設(shè)橢圓上點(diǎn)P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直線(xiàn)PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線(xiàn)PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN||BM|為定值4．方法二、設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直線(xiàn)PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直線(xiàn)PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，運(yùn)用同角的平方關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，即可得到|AN||BM|為定值4．