Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x），當(dāng)x≠1時(shí)，有xf′（x）＞f（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2^m），b=f（2），c=f（log₂m），則a，b，c大小關(guān)系為a＞b＞c．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，f（x）=f（2-x），知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱．再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．

解答 解：∵f（x）=f（2-x），
令x=x+1，則f（x+1）=f[2-（x+1）]=f（-x+1），
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x≠1時(shí)，xf′（x）＞f′（x）成立，
即xf′（x）-f′（x）＞0成立；
∴x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∵1＜m＜2，
∴2＜2^m＜4，
0＜${log}_{2}^{m}$＜1，
∴a＞b＞c，
故答案為：a＞b＞c．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．