Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2-{a}_{n}}$（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，求證：$\sum_{i=1}^{n}_{i}$＜2．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），即可證明{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可，
（2）利用錯位相減法即可求出前n項(xiàng)和，再利用放縮法即可證明．

解答 證明：（1）∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2-{a}_{n}}$，
∴2a_n+1-a_n+1a_n=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=2ⁿ，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
令S_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＜2，
故：$\sum_{i=1}^{n}_{i}$＜2．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用和錯位相減法求和，以及放縮法證明不等式成立，屬于中檔題．