Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋|x－a|，aR．

（1）若a＝－1，求函數(shù)y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程；

（2）若g(x)＝x⁴，試討論方程f(x)＝g(x)的實數(shù)解的個數(shù)；

（3）當a＞0時，若對于任意的x₁[a，a＋2]，都存在x₂[a＋2，＋∞)，使得f(x₁)f(x₂)＝1024，求滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合．

Answer 1

解：（1）當a＝－1，x[0，＋∞)時，f(x)＝－x³＋x＋1，從而f ′(x)＝－3x²＋1．

當x＝1時，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，

所以函數(shù)y＝f(x) (x[0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，

即2x＋y－3＝0．                   

（2）f(x)＝g(x)即為ax³＋|x－a|＝x⁴．

所以x⁴－ax³＝|x－a|，從而x³(x－a)＝|x－a|．

此方程等價于x＝a或

所以當a≥1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，－1；

當－1＜a＜1時，方程f(x)＝g(x)有三個不同的解a，－1，1；

當a≤－1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，1．     

（3）當a＞0，x(a，＋∞)時，f(x)＝ax³＋x－a，f ′(x)＝3ax²＋1＞0，

所以函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上是增函數(shù)，且f(x)＞f(a)＝a⁴＞0．

所以當x[a，a＋2]時，f(x)[f(a)，f(a＋2)]，

當x[a＋2，＋∞)時，f(x)[ f(a＋2)，＋∞)．

因為對任意的x₁[a，a＋2]，都存在x₂[a＋2，＋∞)，使得f(x₁)f(x₂)＝1024，

所以[，[ f(a＋2)，＋∞)．     

從而≥f(a＋2)．

所以f ²(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)³＋2≤32．

因為a＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時，均不滿足．

所以滿足條件的正整數(shù)a的取值的集合為{1}．