Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)。

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：

 

Answer 1

（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

試題分析：：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個點(diǎn)的切點(diǎn).（2）對于恒成立的問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1），（2）

（3）證明不等式，注意應(yīng)用前幾問的結(jié)論.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，

所以

又切線與直線垂直，

從而，解得 ,

（2）若，則則在上是增函數(shù)

而不成立，故

若，則當(dāng)時，；當(dāng)時， 所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù),

所以的最大值為

要使恒成立，只需，解得

（3）由（2）知，當(dāng)時，有在上恒成立，且在上是增函數(shù)，所以在上恒成立 .

令，則

令則有

以上各式兩邊分別相加，得

即故

考點(diǎn)：（1）求切線方程；（2）函數(shù)在閉區(qū)間上恒成立的問題；（3）不等式證明.