Question

【題目】設(shè)是實數(shù)，，

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；

（2）試用定義證明：對于任意，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求m的值；（2）證明于任意m，f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)，由定義法證明即可，設(shè)∈R，，研究的符號，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷出結(jié)果；（3）因為f（x）在R上為增函數(shù)且為奇函數(shù)，由此可以將不等式對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為即對任意x∈R恒成立，再通過換元進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件

試題解析：（1）∵，且

∴（注：通過求也同樣給分）∴

（2）證明：設(shè)，則

∵∴

∴即。 所以在R上為增函數(shù)。

（3）因為為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

由得：

∴對任意恒成立。

令問題等價于對任意恒成立。

令，其對稱軸

當(dāng)即時，，符合題意。

當(dāng)時，即時，對任意，恒成立，等價于

解得：

綜上所述，當(dāng)時，不等式對任意恒成立